Torsion étale and crystalline cohomologies. To appear in the “proceedings of the p-adic semester at the IHP

“This cohomology should also, most importantly, explain torsion phenomena, and in particular p-torsion” A. Grothendieck, Crystals and the de Rham cohomology of schemes. Abstract. — Following our two courses at the Centre Emile Borel of the I.H.P. during the Semestre p-adique of 1997, we present a survey of the Fontaine-Laffaille and Fontaine-Messing theories and (with more details) of their extension by one of us to the semi-stable setting. We also very quickly discuss some `-adic analogue of Nakayama. We take advantage to include a few proofs which are not in the literature and raise several remaining open questions. Résume ́ (Cohomologies étale et cristalline de torsion). — Ce texte suit le contenu de nos deux cours au Centre Emile Borel de l’I.H.P. durant le semestre p-adique de 1997. Il présente un survol des théories de Fontaine-Laffaille et Fontaine-Messing et (de manière plus détaillée) de leur généralisation par l’un d’entre nous au cas de réduction semi-stable. Il décrit aussi très brièvement un analogue `-adique dû a ̀ Nakayama. Nous en profitons pour inclure quelques preuves qui ne se trouvent pa